Découvrir la fonction publique :

En fait, il n'existe pas une mais plusieurs fonctions publiques ; leurs régles de recrutement et de carrière sont grosso modo les mêmes, les différences étant liées au statut de l'employeur (Etat, collectivités locales ou ville de Paris, établissements médico-sociaux, armée, magistrats, Parlement ou institutions internationales).

Pour découvrir les nombreux métiers et emplois des diverses fonctions publiques : l'ONISEP propose un dossier complet.
Sans oublier les pages du ministère de la fonction publique et de la DGAFP, avec une page de découverte des fonctions publiques et une présentation plus détaillée.

Pour vous aider, voici un récapitulatif :

La fonction publique...

... de l'Etat (hormis les magistrats et les militaires)
Et si vous voulez en savoir davantage, je vous rappelle que sur le site de chaque ministère, il y a une rubrique "métiers et concours", allez la consulter !
magistrats (juge ou procureur, dans les juridictions civiles ou pénales ; cela ne concerne pas les juridictions administratives)
militaires et civils des armées

...parlementaire : Assemblée Nationale ou Sénat

pour ces fonctions publiques-là, une fois passé le concours, vous êtes affecté sur un emploi ; ce n'est pas le cas des fonctions publiques suivantes (sauf ville de Paris), où après avoir réussi le concours, vous devez démarcher les employeurs vous-mêmes (c'est moins facile pour "faire son trou", mais ensuite vous pouvez rester dans une région toute votre vie, ou muter à votre souhait).

... territoriale (communes, structures inter-communales, départements, régions, et leurs établissements publics, hors ville de Paris)
ville de Paris

... hospitalière (en fait, le nom est trompeur ; cela concerne tous les établissements médico-sociaux : hôpitaux, maisons de retraite, et établissements sociaux), sauf Paris : l'Assistance publique- hôpitaux de Paris : l'AP-HP

... européenne et internationale

Une synthèse des bonnes adresses !

Et dans tous les cas, il y a une période probatoire, d'une année en moyenne (cela dépend de votre emploi), avant d'être "titularisé" : vous serez alors dans la fonction publique jusqu'à votre retraite, sauf incident majeur (condamnation pénale pour des faits graves et suivie de sanctions disciplinaires).

Passer des concours administratifs :

Une excellente page sur les concours, les IRA (Instituts régionaux d'administration), les (rares) possibilités de recrutements sans concours, etc

Très important : le calendrier des concours ! Il n'y en a plus beaucoup, il vaut mieux savoir quand se préparer et quand s'inscrire (j'en connais qui ont préparé un concours mais ont raté la période d'inscription, dur !), que ce soit pour le concours de ses rêves ou pour en passer un en conditions réelles (genre galop d'essai).

2 fois par an, le Journal Officiel sort un numéro spécial, avec le calendrier prévisionnel des recrutements (fonction publique de l'Etat, armées, ville de Paris et Communauté européenne). Vous pouvez aller le consulter gratuitement en mairie (et photocopier les pages qui vous intéressent).

Le mieux est quand même d'aller 2 ou 3 fois par mois sur Internet :
- pour la fonction publique de l'Etat, consultez d'abord le mode d'emploi du calendrier des concours
- pour la fonction publique territoriale (hors ville de Paris), le site de la fédération nationale des centres de gestion est tout indiqué (en plus des sites précités) !
- sans oublier le calendrier des concours des organisations internationales ni celui des institutions communautaires

Se préparer aux concours :

Il est vivement recommandé de se préparer avant de présenter les concours, surtout ceux de niveau bac et plus. Outre les nombreux ouvrages existants (des QCM à la dissertation de culture générale en passant par les épreuves de droit public et autres réjouissances), vous pouvez soit retourner à la fac dans un IPAG, soit étudier à distance.

Pour les étudiants et pour ceux ayant un diplôme bac + 2, les universités et leurs IPAG (Institut de préparation à l'administration générale) vous attendent ! Attention : les insciptions sont souvent précédées d'une sélection, dès le mois de juin parfois : n'attendez pas pour vous renseigner !
Quelques facs proches enseignent le droit public et disposent d'un IPAG
Université de Paris X-Nanterre (Paris 10) et son IPAG
Université Panthéon-Assas (Paris 2) et son IPAG
Université de Créteil (Paris 12) et son IPAG
Celle de Cergy-Pontoise et son IPAG
La fac de Sceaux (Paris Sud 11) et son IPAG

Tout le monde n'a pas l'envie ou le temps de retourner à l'université ; sachez que vous pouvez travailler depuis votre domicile, avec le CNED, Centre national d'enseignement à distance (envoi de documentation, devoirs corrigés), mais cela demande de la motivation !